FLA教師說 | 數學之美：環而共盤的妙趣

　　勾股定理，是中國古代數學典籍《周髀算經》的開篇定理，也是數學著作《幾何原本》第一卷中的倒數第二個命題，而最后一個命題則是勾股定理的逆定理。要知道，《幾何原本》是全世界流傳度排名第二的書籍，僅次于《圣經》。這么重要的一部數學著作，會將勾股定理及其逆定理作為第一卷最核心的命題，其重要地位不言而喻。不僅如此，勾股定理長期以來都不斷吸引一眾數學家及愛好者們孜孜不倦投入熱情，古今中外，對這一定理的證明就逾五百種，這樣的魅力不得不讓人驚嘆。

　　在初中數學的學習中，學生需要逐步建立對平面幾何的系統化認識，而勾股定理在這其中發揮著舉足輕重的作用。在勾股定理的學習過程中，涉及的證明和應用都能極大地幫助學生發展數學思維，推動他們從直觀的幾何認識過渡到邏輯化幾何推演。接下來讓我們看看，在FLA，七年級的學生們接觸到這一定理時，與什么樣的美好不期而遇了呢?

　　定理證明

　　七年級的孩子們是在《周髀算經》中周公與商高的一段對話中初識勾股定理的。當中的關鍵話語“半之一矩，環而共盤……”引發了孩子們的思考：“半之一矩，環而共盤”是什么操作?這和勾股定理有什么關系呢?

　　“半之一矩”即將一個矩形分成兩半，那么“半之一矩”會得到什么呢?結合勾股定理的三角形教學主題，孩子們迅速鎖定了用對角線將一個矩形分為兩個直角三角形的方式，并借助3D打印教室制作的帶鉸鏈三角形開始重演“環而共盤”之旅。一番思考下來，班中的孩子們得到了兩種“環而共盤”的方式

　　很快，同學們通過假設兩條直角邊為a和b，斜邊為c，找到了兩個圖中的奧秘：

　　大正方形的面積(邊長為a+b)，等于小正方形的面積(邊長為c)加上4個小三角形的面積(每個小三角形的面積為a*b*½)，可推導出勾股定理。

　　大正方形的面積(邊長為c)，等于4個小三角形的面積(每個小三角形的面積為a*b*½)加上小正方形的面積(邊長為a-b)，可推導出勾股定理。

　　也就是說，這兩種“環而共盤”的方式都可以推導出勾股定理，因此我們有十足的把握說，《周髀算經》上所說的“半之一矩，環而共盤”確實是勾股定理的證明。

　　另外，不少孩子注意到，上述兩種證明都用到了完全平方公式，而完全平方公式有以下幾何解釋。當我們將兩圖放置在一起，竟然有一個更為顯然的證明方法橫空出世!不需要過多贅述，圖片說明一切。

　　值得一提的是，利用FLA的3D打印機制作的帶鉸鏈三角形，首尾相連后，通過旋轉就可以達到“環而共盤”的效果，而且順時針及逆時針兩種環繞方向，就可以分別獲得兩種環繞形態，著實是個好用的學具。

　　聽說勾股定理有很多種證明方式后，孩子們也不甘于只停留在這三種證明上。在老師的引導下，他們先后將《幾何原本》中的證明，以及希爾伯特、劉徽等數學家給出的經典證明都重新推演了一遍。在不同的證明方式中體驗不一樣的奇思妙想，并發現了中外幾何證明上的“等量減等量差相等”、剖分等價、割補等價等一系列思維模式的特點，可以說，每一次證明都有一種全新的體驗。

　　勾股定理的應用

　　既然是從古籍開始學習勾股定理，那么，循著這個思路繼續往下，讓我們也從古籍中學習勾股定理的應用吧!

　　剛遇到這些題目時，孩子們內心的陰影面積是極大的，直呼簡直太難了!但經過認真思考后，竟然覺得還挺有意思的，一不小心就在FLA打開了通往詩意數學的一扇門。

　　而且，既然從勾股定理中得知：給定任意兩個正方形，我們總能找到與這兩個正方形面積相等的一個大正方形，那么，我們是否可以將一張正方形紙片，通過裁剪，使之可以拼湊出兩個小正方形呢?具體的分割線又該如何設計呢?這個問題瞬間將數學課調頻至手工課，學生們又開啟了新一輪的探索之旅。

　　勾股定理的拓展

　　在勾股定理的多種證明方式里面，往往夾帶著許多有趣的思考內容，例如在對正方形進行剖分拼補的過程中，很容易聯想到地磚的平鋪問題。

　　眾所周知，邊長相等的正方形可以鋪滿平面，而勾股定理讓我們知道任意兩個正方形的面積之和實際上也是某一個正方形的面積，于是我們就可以實現用大小不一的兩種正方形，同樣能鋪滿平面的方式了，這也就是畢達哥拉斯地磚(Pythagorean Tilings)!

　　熟悉勾股定理后，孩子們發現像(3，4，5)、(5，12，13)這樣由三個自然數構成的勾股數組其實不那么好找，并不是任意給兩個自然數就能找到第三個自然數能與之構成勾股數組，那么滿足什么條件的三個自然數才可以生成勾股數組呢?帶著這一疑問，學生們又開始了對勾股數組的構造探究。

　　另外，關于 的整數解還能夠牽出一個著名的數學問題——費馬大定理(當n>2時，不定方程 沒有正整數解)。所學的勾股定理，看似普普通通，卻能導向一個歷經358年才終于得證的命題，這一事實著實讓孩子們感到驚奇。

　　勾股定理并不是一個教學新名詞。但是，在FLA的數學課堂中，學生們從這個數學大廈中的古老命題出發，用剪紙、繪圖等多種方式探索和體驗勾股定理背后的學問。同學們既能在古文中嘆服于前人的智慧，又能在現代數學的問題中感受到其鮮活的溫度，并由此產生了一連串的奇妙體驗，這或許就是在數學世界遨游愛麗絲仙境吧!

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